Khvicha a évolué dans les équipes de jeunes du Dinamo Tbilissi et a même goûté à la D1 géorgienne, avant de quitter le club en raison de différends contractuels pour s’engager avec le modeste FC Rustavi. Un transfert au FC Bayern ayant échoué, il rejoint, le jour de ses 18 ans, le Lokomotiv Moscou d’abord en prêt, puis, à l’été 2019 – alors qu’il est devenu international géorgien –, le Rubin Kazan en transfert définitif.
Au cours de ses trois années à Kazan, Kvaratskhelia s’est imposé comme l’un des meilleurs joueurs de la Premier League russe et a de nouveau suscité l’intérêt du FC Bayern en 2021. « Je suis convaincu qu’il finira au Real Madrid ou au Bayern », déclarait alors son agent, Nobel Dzhugueli. Le dossier échoue à nouveau et le joueur ne quitte Kazan qu’en mars 2022, après l’offensive russe en Ukraine. Il est alors prêté au Dinamo Batoumi, club de première division géorgienne, mais son niveau dépasse depuis longtemps celui du championnat national.
À l’été 2022, le SSC Naples frappe un grand coup en le recrutant pour 11,5 millions d’euros ; au pied du Vésuve, Kvaratskhelia devient d’abord « Kvaradona », puis champion d’Italie. En janvier 2025, il rejoint le PSG pour 80 millions d’euros ; six mois plus tard, il remporte la Ligue des champions, et ce, à Munich. Considéré comme l’un des meilleurs joueurs du monde, il a inscrit un doublé lors de la victoire 5-4 sur le FC Bayern à l’aller.